Aussagenlogik - I saw the signs

Bücher und Texte über die Logik gibt es mehr als genug. Zwei Wissenschaften beschäftigen sich besonders gerne und intensiv mit Logik. 1. Die Mathematik und 2. Die Philosophie.

Das diesen zwei Wissenschaften andere folgen liegt wohl auf der Hand: Die Informatik - informatische Logik und aber auch die Juristerei. Denn schließlich kann ein Gesetzt ungerecht sein, ja sogar unnütz oder sinnlos - aber eines darf es nicht sein: Unlogisch!

Seitdem die alten Griechen (besonders Aristoteles) angefangen haben der Sprache mehr Logik zu verleihen, gab es unzählige Veränderungen und Spielarten von selbiger.
Ich möchte hier einen Blick auf die formale Logik werfen - genauer genommen: die Aussagenlogik.

Nun gilt die Logik als die Wissenschaftssprache schlecht hin - wenngleich sie uns nicht sagen kann, ob ein oder mehrere Sätze Wahrheit oder Lüge, Echtheit oder Fake sind.
Diese Unterscheidung obliegt noch immer dem Menschen, der die Logik anwendet - damit kommt auch sehr viel Interpretationsfähigkeit bzw. sprachliche Kreativität mit an Bord, aber das soll nicht stören. Wir blicken hier nur auf das Rudimätereste - und das ist ziemlich abgesichert.

Woran erkennen wir, dass es sich um ein logisches Konstrukt handelt?

Bestimmte Worte sind immer ein Indikator dafür, dass hier ein logischer Satz folgt. Da wären z. B. Nicht, Und, Oder, Wenn ... dann!
Wer sich mit Softwareentwicklung beschäftigt hat, kann es nachvollziehen. Aber warum sollte so etwas einfaches wie ein UND plötzlich einen logischen Satz bestimmen? Nun - ein UND verbindet immer zwei Dinge - es ist ein Konjunktur!
Und so wie das Pluszeichen in der Arithemtik zwei Zahlen addiert, verbindet eben ein UND meist einen Satz, Gedanken oder eine Idee mit einem anderen Satz, Gedanken oder einer Idee.

Beispiel: Du musst deine Matheaufgabe machen UND dein Zimmer aufräumen! Die Aussage ist klar und logisch. Nur Zimmer aufräumen allein reicht nicht - ebenso wie nur Mathe machen! Beides muss erfüllt werden.
Beispiel: Du musst deine Matheaufgabe machen ODER dein Zimmer aufräumen! Diese Aussage abverlangt nur eines von beiden!
Beispiel: Du musst deine Matheaufgabe machen UND NICHT dein Zimmer aufräumen! Hier (wenngleich eher selten in der Realität) bekäme man Zorres wenn man sein Zimmer aufräumt und die Mathearbeit vernachlässigt!
Beispiel: WENN deine Matheaufgabe erledigt ist, DANN darfst du ins Kino gehen! Sagt aus, dass ich nach der Mathearbeit mir einen Film ansehen darf. Aber bedeutet es auch, das jemand, der mich im Kino sieht deshalb gleich schließen kann, dass ich die Mathearbeit erledigt habe? Nein! Denn vielleicht habe ich mit viel Verhandlungsgeschick einen Kinobesuch mit meiner Zimmeraufräumerei bekommen. Da wir in der Logik also mehr Klarheit brauchen gibt es:
Deshalb noch ein Beispiel: WENN du UND NUR WENN du Mathe gemacht hast, DANN darfst du ins Kino! Jetzt kann mich der Mathelehrer im Kino sehen und er darf denken: Der hat seine Mathearbeit gemacht, sonst wäre er nicht mit eindeutiger Erlaubnis hier!

Da selbst die Aussagenlogik kein kleines Denkkonstrukt ist, welches erst in einem dicken Buch mit vielen Seiten vollständig determiniert werden kann - überspringe ich viele Nebensächlichkeiten und bleibe Sparsam mit den Fachausdrücken!

Kritische Leser_innen haben in den Beispielen sicher erkannt, dass ein Mathe machen UND NICHT dein Zimmer aufräumen eigentlich bedeutet: Mathe machen UND Zimmer versauen! Der NICHT Operator (Negation) ist eben nicht immer so einfach!
Ähnlich wie bei 10 + (-8) = 2 Hmmm, trotz Addition wird es weniger am Schluss. Andere würde sagen: "Ja, aber das bedeutet doch 10 + 0 - 8 = 2" - wieder andere würden dann sagen: "Was ist dann mit: 10 + 8 ⨯ (-1) = 2"

Die Negation alleine gibt oft nicht viele Informationen preis. Ein Satz wie: "Ich lebe in Graz" bedeutet in der Negation "Ich lebe NICHT in Graz"! Ja wo nun - überall, aber eben nicht in Graz!

Für die Aussagenlogik ist es sowieso Nebensächlich, weil nicht nach dem Lebensmittelpunkt gefragt wird, sondern nach der Gültigkeitsprüfung!
Deshalb wäre ein Satz: "Ich lebe in Graz" WAHR!
Die Negation davon: "Ich lebe NICHT in Graz" FALSCH!
Zufälligerweise könnte ich beide Sätze mit meinem Meldezettel des Magistrat Graz belegen und damit beweisen. Der Logik ist es aber egal welche Beweise vorgelegt werden - viel wichtiger ist ihr, dass ich als in Graz lebender sicher nicht zugleich wo anders lebe!

Und weil sich die Logik auch nicht für viel Gequatsche interessiert, will sie für die Aussage "Ich lebe in Graz" einfach nur den Buchstaben P haben! Damit erlaubt es eine Negation über den Operator ¬P was schon viel kürzer und effektiver ist, als "Ich lebe NICHT in Graz"!

WAHR und FALSCH wird mit W und F dargestellt. Die Logik kann nun also folgende Wahrheitstabelle aufstellen:

P	¬P
W	F
F	W

So liest man die Tabelle: Wenn P Wahr ist dann ist ¬P definitv Falsch, und umgekehrt: Wenn P Falsch ist dann ist ¬P definitv Wahr

Die anderen vier wichtigen Operatoren UND, ODER, WENN ... DANN und WENN und NUR WENN sind in der Tabelle zusammengefasst! (UC-DEZ spielt keine Rolle in der Logik, sondern mehr im WebDev)

Operator	Begriff	Bedeutung	UC-DEZ
¬	Negation	NICHT	¬
⋀	Konjunktor	UND	⋀
⋁	Disjunktor	ODER	⋁
→	Konditional	WENN ... DANN	→
↔	Bikonditional	WENN und NUR WENN	↔

In einem Satz mit UND wird ein P: Das Fahrzeug hat ein Gewicht von mind. 3.5 Tonnen UND Q: Das Fahrzeug ist zweispurig definiert. Die Wahrheitstabelle sieht hier so aus:

P	Q	P ⋀ Q
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	F

Eine jede Wahrheitstabelle mit einem ODER Satz sieht wie folgt aus. Prämisse - P: Das Fahrzeug ist ein Fahrrad ODER Q: Heute ist Sonntag

P	Q	P ⋁ Q
W	W	W
W	F	W
F	W	W
F	F	F

In einer WENN ... DANN Konstruktion sieht die Wahrheittabelle IMMER gleich aus: WENN P: Bei einer Ladetätigkeit DANN Q: ist Parken erlaubt! Eine SONST Bedingung braucht die Aussagenlogik hier nicht, weil das Sonst sowieso nur ein Parken ist verboten lauten kann! Die Aussagenlogik würde so einen Fall über eine Negation abfangen!

P	Q	P → Q
W	W	W
W	F	F
F	W	W
F	F	W

Zur Erklärung:

Wenn ich hier eine Ladetätigkeit vollziehe und das Parken hier für Ladetätige erlaubt ist, dann darf ich auch hier parken!
Wenn ich hier eine Ladetätigkeit vollziehe aber das Parken für Ladetätige verboten ist, dann darf ich hier nicht parken!
Selbst ohne Ladetätigkeit darf ich hier parken, weil Parken erlaubt ist!
Ich leiste keine Ladetätigkeit und das Parken ist hier nur für Ladetätige verboten - also darf ich parken!

Bevor wir zum letzten Operator kommen, müssen wir folgende Fachbegriffe klären:

Konverse einer Aussage: Wenn sie Ladetätigen dann ist parken erlaubt --- Parken ist erlaubt wenn Sie Ladetätigen
Umkehr einer Aussage: Wenn sie Ladetätigen dann ist parken erlaubt --- Wenn Sie nicht Ladtätigen, dann dürfen sie nicht parken!
Kontraposition einer Aussage: Wenn sie Ladetätigen dann ist parken erlaubt --- Wenn Sie hier nicht parken, dann Ladetätigen Sie auch nicht!

Der Einfachheit Halber werden wir die Bikonditionale Aussage gleich mit selbigen Beispiel verwenden. Also WENN P: Bei einer Ladetätigkeit UND NUR WENN Bei einer Ladetätigkeit DANN ist Parken erlaubt! ergibt sich folgende Wahrheitstabelle:

P	Q	P ↔ Q
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	W

Hier (Nr. 3) ist die Restriktion trotz Parkerlaubnis nicht möglich, wenn nicht Ladegetätigt wird!

Der junge Tom ist unsterblich in seine Michaela verliebt und heute will er sie das wissen lassen. Er überlegt sich die schönsten Worte, epochal und poetisch. Ein Liebesgeständnis wie es bisher noch nie da war, denn ohne ihrer Liebe kann er nicht mehr!
Und wie so oft, steht er vor ihr. Doch das einzige, was seine Lippen verlässt ist ein:

Kiss me or Kill me!

Die schöne Michaela ist ein hoch logischer Mensch und versteht:

P = Kiss me
Q = Kill me
Und schließt: P ⋁ Q

Sie schaut in der Wahrheittabelle für ODER nach und versteht: Küssen ist möglich, Töten ist möglich aber auch Küssen und Töten zugleich wäre möglich.
Sie stutz etwas, wird nachdenklich darüber ob es sein Ernst ist Tod und Kuss zugleich zu akzeptieren.

Und er bemerkt ihre Nachdenklichkeit. Er will seiner Entschlossenheit Nachdruck verleihen und sagt:

Kiss me oder Kill me! - Don't do nothing!

Was sie noch mehr verwirrte - sie noch nachdenklicher stimmte. Was will er mir sagen? Denn die Wahrheitstabelle für ODER würde ein Nichtstun sowieso nicht erlauben. Warum also dieser Zusatz?

Der junge Tom denkt nochmals über seine Worte nach und begreift. Er wechselt die Sprache und sagt:

Küsse mich oder Töte mich und tu nicht beides!

Jetzt endlich versteht sie: (P ⋁ Q) ⋀ (¬ (P ⋀ Q)) bzw. ¬(P ↔ Q)

Sie schaut wieder in ihre Wahrheittabellen für UND, ODER und der Negation und entscheidet sich ihm seinen erhofften Kuss zu geben - vielleicht auch nur, weil er endlich einen logischen Satz formuliert hat!

Wenn wir einen logischen Satz aufbauen, gelten die selben Regeln wie aus dem Mathematikunterricht. Es werden zuerst immer die Ausdrücke innerhalb der Klammern aufgelöst.
Die informatische Logik kennt ein XOR was einem Entweder - Oder entspricht.

	Bedeutung Überholen von mehrspurigen KFZ verboten Logische Konstante P = Überholen verboten Q = mehrspuriges KFZ Logische Determinante P = Wahr wenn ich nicht überholen möchte, P = Falsch wenn ich überholen will Q = Wahr wenn das Fahrzeug vor mir ein mehrspuriges Fahrzeug ist, Q = Falsch, wenn das Fahrzeug vor mir ein anderes Fahrzeug als ein mehrspurges KFZ ist.
	NICHT (Negation) Bedeutung Ende des Überholverbotes Logischer Satz ¬P Aussage Nun wird es Wahr wenn ich überholen will
	UND (Konjunktion) Bedeutung Überholen von mehrspurigen KFZ verboten Logische Satz P ⋀ Q Aussage Ich will hier einen 911 Porsche überholen! VERBOTEN, weil P Wahr und Q auch Wahr ist Ich will hier ein Motorrad überholen! ERLAUBT, weil P Wahr und Q Falsch ist Ich will hier den 911 Porsche nicht überholen! ERLAUBT, weil P Falsch und Q Wahr ist Ich will hier ein Motorrad nicht überholen! ERLAUBT, weil P Falsch und Q Falsch ist.
	ODER (Disjunktion) Bedeutung Schneekettenpflicht plus der Zusatztafel: ausgenommen Traktoren Logische Konstante P = Ich muss Schneeketten anlegen Q = Ich fahre einen Traktor Logischer Satz P ⋁ Q Aussage Ich will die Schneeketten anlegen und fahre einen Traktor! Erlaubt, weil P Wahr und Q Wahr ist Ich will die Schneeketten anlegen und fahre einen 911 Porsche! Erlaubt, weil P Wahr und Q Falsch ist Ich will die Schneeketten nicht anlegen und fahre einen Traktor! Erlaubt, weil P Falsch und Q Wahr ist Ich will die Schneeketten nicht anlegen und fahre einen 911 Porsche! Verboten, weil P Falsch und Q Falsch ist!
	WENN ... DANN (Konditional) Bedeutung Vorgeschriebene Fahrtrichtung für Kraftfahrzeuge mit gefährlichen Gütern: Rechts abbiegen Logische Konstante P = Ich lenke ein Fahrzeug mit gefährlichen Gütern Q = Ich muss rechts abbiegen! Logischer Satz P → Q Aussage Ich lenke ein Gefahrengutfahrzeug und biege deshalb rechts ab! WAHR, weil P Wahr und Q Wahr ist - Alles Richtig gemacht! Ich lenke ein Gefahrengutfahrzeug und biege nicht rechts ab! FALSCH, weil P Wahr und Q Falsch ist - Das ist hier nicht erlaubt, mit deinem Gefahrenguttransport musst du rechts abbiegen! Ich lenke kein Gefahrengutfahrzug und biege rechts ab! WAHR, weil P Falsch und Q Wahr ist - Spricht nichts dagegen! Ich lenke kein Gefahrengutfahrzeug und biege hier nicht rechts ab! WAHR, weil P Falsch und Q Falsch ist - Spricht nichts dagegen!
	WENN ... UND NUR WENN (Bikonditional) Bedeutung Schneekettenpflicht und zwar NUR bei Schneefahrbahn Logische Konstante P = Schneekettenpflicht Q = Es schneit Logischer Satz P ↔ Q Aussage Wenn und nur wenn es schneit, dann gilt hier die Schneekettenpflicht! Bikonditional bedeutet hier: Wenn jemand mit Schneeketten fährt, dann weiß ich, dass es schneit. Wenn es schneit, dann weiß ich das jeder hier Schneeketten anlegen muss. Jemand fährt hier mit Schneeketten und es schneit! WAHR, weil P Wahr und Q Wahr ist. Dieser Jemand verhält sich richtig! Jemand fährt hier mit Schneeketten obwohl es nicht schneit! FALSCH, weil P Falsch und Q Wahr ist. Dieser Jemand darf hier nicht mit Schneeketten fahren! Jemand fährt hier ohne Schneektten und es schneit! FALSCH, weil P Falsch und Q Wahr ist. Dieser Jemand sollte unbedingt Schneeketten anlegen! Jemand hährt hier ohne Schneeketten und es schneit nicht! WAHR, weil P Falsch und Q Falsch ist. Bravo, dieser Jemand hat es verstanden!

P	Q	¬ P	¬ Q	P ⋀ Q	P ⋁ Q	P → Q	P ↔ Q
W	W	F	F	W	W	W	W
W	F	F	W	F	W	F	F
F	W	W	F	F	W	W	F
F	F	W	W	F	F	W	W

Das Verkehrszeichen links firmierit unter dem Namen: 13b - Parken und Halten verboten.
Jetzt könnte ein_e Logiker_in sagen:
P = Parken verboten
Q = Halten verboten
P ⋀ Q
Schaut man in die Wahrheitstabelle dann wäre das Vekehrsschild nur (logisch) gültig, wenn beides P UND Q erfüllt ist.
Weil Parken als ein Abstellen des Fahrzeuges länger als 10 Minuten und Halten ein Fahrzeugabstellen von weniger als 10 Minuten definiert wurde, könnte der_die Logiker_in argumentieren: Wenn ich mein Fahrzeug also 7 Minuten lange abstellen, ist der Umstand des Parkens nicht erfüllt und somit auch erlaubt.

Ganz anders wäre es, wenn dieses Schild: 13b - Parken oder Halten verboten hieße, also P ⋁ Q.
Dann würde Parken sowie auch Halten verboten sein sowie selbstverständlich beides zu gleich auch! (Siehe Wahrheitstabelle für ODER). Ein anderer würde vielleicht sogar behaupten, dass es in diesem Beipspiel mit dem Verkehrszeichen 13b total egal ist ob es eine Konjunktion oder Disjunktion ist, schließlich geht es nur um die Interpretation von WAHR und FALSCH.

Da aber hier ein anderes logisches Argument wirkt, nähmlich der Umstand das es unmöglich ist gleichzeitig zu parken und zu halten, weil es sich um eine Wesensveränderung über ein Zeitmaß handelt und man davon ausgehen kann, das jedes Fahrzeug welches parkt auch vorher schon einmal halten musste, ist es nicht unbedingt Trennschaft als Kunjunktion zu betrachten. Der_die Logiker_in könnte jetzt argumentieren: Dann sollte das Schild einfach nur 13b: Halteverbot lauten.

Diese Pedanterie bzw. Haarspalterei könnte so weiter gehen und würde der_die Logiker_in tatsächlich auch so vor einem parkraumüberwachenden Organ argumentieren, ja dann kann es für ihn oder sie schon sehr teuer werden!

Gut also - Logik wann dann, wenn nicht hier?
Wenn zwei streiten, diskutieren, ein Problem lösen oder ein Argument ausarbeiten wollen, dann sind logische Sätze nur angebracht, wenn

beide sich darauf verständigt haben die Logik zu akzeptieren, und
beide sich auf eine Logik geeinigt haben! (Denkbar ist auch eine Mischform von mehreren Logiken)

Die Vorstellung, dass es nur eine Logik gibt ist zwar ideal-utopisch schön, aber eben nicht richtig. Da gibt es z. B. Aussagenlogik, boolesche Logik, formale Logik, Fuzzylogik, informale Logik, Junktorenlogik, mehrwertige Logik, Prädikatenlogik, Quantorenlogik, syllogistische Logik, symbolische Logik usw. (nur um einige wenige zu nennen)!
Ohne die Vereinbarung auf eine Logikform, kann jene bzw. jener, welche_r meint logisch richtig zu argumentieren, schnell zum Don Quijote werden, der gegen Windmühlen kämpft. Da argumentiert man lieber mit Vernunft oder Ratio.
Mit einer Vereinbarung jedoch kann man mehr Präzision und Klarheit in die Sprache einfließen lassen, Konklusionen rechtfertigen, Argumente auf Gültigkeit prüfen und somit die Sprache verbessern!